Tono y semitono

Nivel 2 · Clase 4 · tres escaleras que conviven · Bartók en tonal y en temperado

Para: de 9 a 14 años, toda la clase. Duración: 50 minutos.

Objetivo principal: al final de la clase, cada pareja toca en el Cosmic Keyboard un Do♯ y un Re♭, lee en el afinador la frecuencia de cada uno y dice cuál es más agudo; la clase dice cuántas teclas tienen esas dos notas en el piano.

Objetivos secundarios: (1) decir la receta de la escalera mayor, tono, tono, semitono, tono, tono, tono, semitono, y señalar en el piano los dos semitonos (Mi-Fa y Si-Do); (2) decir de qué escalera es un instrumento: temperada, tonal o de armónicos.

Qué necesitas: una computadora con parlantes, micrófono e internet; el Cosmic Keyboard y el afinador gratuito abiertos uno al lado del otro; la pizarra y, si hay, un proyector. Viene bien haber hecho la Clase 3. No hace falta saber música: el afinador hace las cuentas y lo muestra en números.

Antes de la clase (15 minutos, en casa): ensaya.

Abre el Cosmic Keyboard. En SYSTEM deja Axiomatic y pulsa dos veces la flecha derecha de OCTAVE SHIFT (abajo), hasta que diga 4–7: así la fila de abajo toca la octava del Do central. La fila de números toca los sostenidos (1 = Do♯, 2 = Re♯, 3 = Fa♯, 4 = Sol♯, 5 = La♯) y Shift con una letra, los bemoles (Shift+X = Re♭, Shift+B = Sol♭).
Abre el afinador en otra ventana y dale permiso para usar el micrófono. Toca 1 y deja la tecla apretada: el afinador dice Do♯ y unos 278 Hz. Toca Shift+X: Re♭, unos 275 Hz. El Keyboard también escribe la frecuencia arriba a la izquierda.
En el Keyboard abre el panel recs (Recordings). Abajo, en Built-in Demo · Bartók, pulsa ◈ Tonal Mode y después ⬦ Tempered: aparecen dos grabaciones de la misma danza en la lista. Escucha el comienzo de cada una mirando las teclas.
Lee las cajas de «Antes de empezar». Son para ti: en la clase, los alumnos ven el dibujo de las tres escaleras y el afinador, no las cuentas.

Antes de empezar: tres escaleras que conviven

Hertz: cuántas veces por segundo

Todo sonido es algo que vibra: una cuerda, el aire dentro de una flauta, las cuerdas de la voz. El hertz (Hz) cuenta cuántas veces va y viene esa vibración en un segundo. El La del afinador es 440 Hz: la cuerda va y viene 440 veces cada segundo. La cuerda más grave del contrabajo vibra unas 41 veces por segundo: se la ve temblar, aunque nadie alcance a contar las idas y vueltas.

Más vibraciones por segundo, nota más aguda. Y el doble de vibraciones es la misma nota una octava más arriba: La 220, La 440, La 880. El nombre viene de Heinrich Hertz, el físico alemán que estudió las ondas. Con el hertz se pueden comparar todas las escaleras de esta clase sin tomar partido por ninguna: es lo que lee el afinador.

Tres escaleras que conviven

El pentagrama dice qué escalón de la escala se toca, pero no cuánto mide cada escalón. Eso lo decide el instrumento, y los músicos usan tres escaleras distintas:

La temperada, la del piano, la guitarra y los teclados: doce escalones iguales en cada octava. Do♯ y Re♭ comparten una sola tecla.
La tonal (pitagórica), la de la voz, el violín y los vientos que corrigen la nota con el soplo: se construye solo con fracciones de 2 y de 3, y cada escalón depende de la tonalidad. Do♯ y Re♭ son dos notas distintas, y el Do♯ es más agudo.
La de los armónicos naturales, la de los metales (la trompa, la trompeta natural, la corneta): las notas salen solas del tubo, una tras otra, y algunas caen entre dos teclas del piano.

Ninguna es mejor que otra y ninguna reemplazó a las demás. Las tres suenan cada día en cualquier orquesta, a veces en el mismo acorde: el músico pasa de una a otra según con quién toca. Por eso un mismo nombre, como «tercera mayor», existe en las tres escaleras, pero en cada una viene de un origen distinto y suena un poco distinto.

Las tres escaleras de Do a Do, dibujadas a la misma escala. Las líneas grises de fondo son los doce escalones iguales del piano.

Notas fijas · temperada (⬦ Tempered)	Notas libres · tonal (◈ Tonal)	Notas del tubo · armónicos
El piano y los teclados, el acordeón, la marimba y el xilófono, la guitarra y los instrumentos con trastes (bajo eléctrico, cuatro, charango, ukelele), la armónica. El músico elige la tecla, la placa o el traste, y la nota suena donde fue construida.	La voz y el coro, la cuerda frotada sin trastes (violín, viola, violonchelo, contrabajo). El músico busca cada nota con el oído y la ajusta a la música que suena. La flauta, el clarinete, el oboe y el saxofón tienen llaves pensadas para el temperado, pero en una orquesta o una banda el músico corrige cada nota con el soplo y los labios, y afina como las cuerdas.	La trompa, la trompeta, el trombón, la tuba, la corneta y el clarín. Cada posición de los pistones o de la vara da una serie de armónicos, y el músico salta de uno a otro con los labios. Los que caen entre dos teclas los corrige con los labios o con otra posición.

La escalera temperada: escalones grandes y pequeños

El dibujo de abajo es un teclado temperado, como el del piano. La escalera de Do a Do tiene siete escalones, pero no todos miden lo mismo. La mayoría son tonos (escalones grandes); dos son semitonos (medio escalón): de Mi a Fa y de Si a Do.

En el piano, entre las teclas blancas de un tono hay una negra en medio; entre Mi-Fa y Si-Do no hay nada: ya están a medio escalón.

La escalera mayor se arma así: tono, tono, semitono, tono, tono, tono, semitono. Esa receta es la que hace que suene a «escalera de Do», y vale para las tres escaleras. En el piano se dice así, tono y semitono, porque todos sus semitonos son iguales. En la escalera tonal el tono es un poco más grande y hay dos semitonos distintos, el cromático y el diatónico; los semitonos de la receta, Mi-Fa y Si-Do, son diatónicos. Esas palabras llegan en la Clase 5: cada término, en su escalera.

El teclado temperado: doce escalones iguales

Si se cuentan todas las teclas del piano, blancas y negras, de un Do al siguiente hay 12 escalones, todos del mismo tamaño: cada uno es un semitono. Un tono son dos de esos escalones.

La octava temperada: doce semitonos iguales, de Do a Do.

¿Cómo se consiguen escalones iguales? Subir una octava es duplicar la frecuencia: el La de 220 Hz, una octava más arriba, vibra 440. Para repartir ese «doble» en 12 pasos iguales, cada paso multiplica la frecuencia por el mismo número, 1,0595, un poco menos de 6 % más. Doce veces seguidas, 1,0595 × 1,0595 × … da 2: la octava. Ese número es la raíz doce de 2.

Al revés, en la cuerda: para subir un semitono, la cuerda se acorta a 0,9439 de su largo (el inverso, 1 ÷ 1,0595), es decir, pierde un poco más de 5,6 %. Por eso los trastes de una guitarra quedan cada vez más juntos hacia arriba: cada traste quita el mismo porcentaje de lo que queda de cuerda.

Es un acuerdo muy práctico: con doce teclas por octava, el piano toca en todas las tonalidades. El precio es que Do♯ y Re♭ quedan juntos en una sola tecla, a mitad de camino entre lo que serían en la escalera tonal.

El teclado tonal: la escalera de la tonalidad

El Cosmic Keyboard tiene, además, un teclado tonal (SYSTEM › Tonal), igual al mini-teclado del Score. Allí las letras Z X C V B N M no son teclas fijas: son los siete escalones de la tonalidad, los grados I a VII. Con los botones KEY se elige la tonalidad y con MODE, mayor (M) o menor (m). En Do mayor, Z es Do; en Re mayor, Z es Re, y la C ya toca Fa♯ sin que nadie lo pida, porque la escalera de Re lo necesita. Z es siempre la casa (la tónica), y M, la nota que empuja hacia la casa (la sensible).

Así piensan un cantante o un violinista: no en una tecla, sino en el lugar de la nota dentro de la tonalidad. Y en esa escalera los escalones se construyen solo con dos números: el 2 (la octava, media cuerda) y el 3 (la quinta, dos tercios de cuerda). De ahí salen todas las notas: Re es 9/8 de Do, Mi 81/64, Fa 4/3, Sol 3/2.

Do♯ y Re♭ son dos notas. Do♯ es Do subido un semitono cromático (2187/2048); Re♭ es Re bajado un semitono cromático, y queda en 256/243 de Do. El Do♯ queda más arriba que el Re♭: el sostenido tira hacia la nota de arriba y el bemol, hacia la de abajo. Con el La en 440, Do♯ vibra 278,44 Hz y Re♭ 274,69 Hz; el piano los junta en 277,18 Hz. En el Keyboard (SYSTEM › Axiomatic) se tocan con 1 y con Shift+X, y el afinador lo muestra.

Entre Do y Re: una tecla en el piano, dos notas en el violín y en la voz.

Nota	Piano (temperado) Hz	Violín y voz (tonal) Hz
Do	261,63	260,74
Do♯	277,18	278,44
Re♭	277,18	274,69
Re	293,66	293,33
Mi	329,63	330,00
Fa	349,23	347,65
Fa♯	369,99	371,25
Sol♭	369,99	366,25
Sol	392,00	391,11
La	440,00	440,00
Si	493,88	495,00
Do	523,25	521,48

La octava del Do central con el La en 440 Hz. Las dos escaleras solo coinciden en el La, la nota con la que se afina; las demás se separan un poco, y donde más se separan es en los sostenidos y los bemoles.

La escalera de los armónicos

Una cuerda o el aire de un tubo no vibran solo enteros: vibran también en mitades, en tercios, en cuartos, en quintos… y cada parte suena una nota más aguda. Esas notas son los armónicos, y siempre salen en el mismo orden. El armónico 2 es la octava; el 3, la quinta encima; el 4, otra octava. Más arriba, entre el armónico 8 y el 16, los armónicos forman una escalera completa: Re es 9/8, como en la tonal, pero Mi es 5/4, un poco más bajo que el del piano, y el 7, el 11 y el 13 caen entre dos teclas. Es la escalera natural de los metales.

La misma Mi sobre el mismo Do	Hz
Armónicos (5/4)	325,93
Temperada (el piano)	329,63
Tonal (81/64)	330,00

Tres Mi distintos sobre el Do de 260,74 Hz. Los tres se llaman «Mi» y los tres forman una «tercera mayor» con el Do.

¿Sabías que…? La regla de los cents. Muchos libros miden las notas en cents: 100 cents por cada semitono del piano, 1200 por octava. Pero el cent es la regla del sistema temperado. Como se lee en Cuando sonido se vuelve música: «Si una mesa se mide en pulgadas, sus dimensiones pueden convertirse con certeza a milímetros; sin embargo, cada conversión introduce una pequeña discrepancia numérica, no porque la mesa haya cambiado, sino porque los dos sistemas se basan en unidades diferentes y en lógicas internas distintas». Una quinta pura, 3/2, medida con la regla del piano da 701,955 cents. Por eso aquí la escalera tonal se escribe con sus fracciones, los armónicos con las suyas y la temperada con su paso igual.

¿Sabías que…? Bach y el buen temperamento. En tiempos de Bach los teclados se afinaban con temperamentos «buenos», como el de Werckmeister, que no hacían todos los escalones iguales: cada tonalidad conservaba su color. Bach escribió para ellos El clave bien temperado. La Sinfonía nº 9 en fa menor se puede oír en las tres afinaciones, cada una en un clic: tonal, en el Score o en el Keyboard (recs › Built-in Demo · Bach › ◈ Tonal Mode); bien temperada (Werckmeister III), en el Score; y en temperado igual, el piano de hoy, en el Keyboard (⬦ Tempered), donde se encienden las franjas cian. Las 15 Sinfonías completas, en las tres versiones, están en el zip de las demos.

Para el maestro: no es un paso atrás. A veces un músico pregunta si explicar la escalera tonal no es volver atrás, a algo que el temperamento igual ya corrigió. No lo es: el temperamento igual no corrigió nada, fue un acuerdo para que los instrumentos de teclas pudieran tocar en todas las tonalidades. La escalera tonal y la de los armónicos siguen sonando cada día: un violinista sube un poco el Do♯ que va hacia Re y baja el Re♭ que vuelve a Do, y un coro afina sus acordes con el oído. No es desafinar, es la escalera tonal. Este tema es mal conocido incluso entre músicos; con el afinador y el Keyboard, la clase lo ve y lo oye.

Para el maestro: el Cosmic Keyboard por dentro

El Cosmic Keyboard muestra en una sola pantalla las dos afinaciones. Cada tecla está dividida en zonas:

La franja cian de cada tecla es la nota temperada, la misma del piano. Cuando el Keyboard toca una grabación temperada (como «⬦ Tempered» de Bartók), se encienden solo esas franjas.
El resto de la tecla son las zonas de la escalera tonal: la nota natural, sus sostenidos y sus bemoles, cada uno en su lugar.
La tecla negra-blanca entre Mi y Fa, y entre Si y Do, donde el piano no tiene tecla negra: su franja temperada se enciende de color esmeralda. Parte el semitono en dos cuartos de tono. En el temperado, un cuarto de tono multiplica la frecuencia por la raíz veinticuatro de 2, 1,0293: dos cuartos de tono seguidos dan exactamente un semitono.

Para la clase basta con mostrar las franjas cian mientras suena la versión temperada, y las zonas de los sostenidos y bemoles mientras suena la tonal.

La clase, paso a paso

La clase sigue cinco etapas: la meta, lo que ya saben, lo nuevo, la aplicación y el repaso de la meta. En cada actividad, tú lo haces primero y la clase te sigue.

3 min
La meta
Di a la clase, con estas palabras o parecidas:
«Hoy vamos a descubrir que una misma nota escrita puede sonar de más de una manera, según el instrumento. Al final, cada pareja va a medir dos notas con el afinador.»
Escribe la meta en la pizarra: Puedo oír y medir que Do♯ y Re♭ no son siempre la misma nota.
7 min
Lo que ya saben: la escalera y el piano
Toca tú la escalera de Do a Do en el Keyboard (Z X C V B N M y el Do de arriba); la clase la canta contigo. Muestra el dibujo del piano: la clase busca dónde no hay tecla negra (entre Mi y Fa, y entre Si y Do).
Toca Do-Re (Z X) y Mi-Fa (C V), alternando; la clase dice «grande» o «pequeño». Escribe la receta en la pizarra: T T S T T T S, y cántenla despacio dando un paso corto en cada semitono.
15 min
Lo nuevo: hertz y dos escaleras
1. Hertz (4 min). Proyecta el afinador. Canta tú una nota larga, primero grave y después aguda: el número sube. «Ese número dice cuántas veces vibra el sonido en un segundo.» Un alumno canta una nota larga y la clase lee el número. Toca el La (N): 440. Pregunta: «¿Y el La de una octava más arriba?». El doble: 880.
2. Doce escalones iguales (3 min). En el dibujo del piano, cuenta con la clase todas las teclas de Do a Do, blancas y negras: doce escalones, todos iguales. «Así se construyó el piano: cada tecla, en un lugar fijo.»
3. Do♯ y Re♭ (5 min). Con el Keyboard en 4–7 y el afinador abierto, toca tú 1 (Do♯) y deja la tecla apretada; la clase lee el número: 278. Después Shift+X (Re♭): 275. «¿Cuál es más agudo?» El Do♯. «En el piano, las dos son la misma tecla negra: 277.» Dibuja en la pizarra el zoom de Do a Re: una línea en el piano, dos en el violín.
4. Tres escaleras (3 min). Proyecta el dibujo de las tres escaleras. «El piano usa la de la izquierda; el violín y la voz, la del medio; la trompeta y la trompa, la de la derecha. Las tres son de verdad, y suenan juntas en la orquesta.»
Con pizarra digital o proyector, la clase ve los dibujos, el Keyboard y el afinador en la pantalla; sin pantalla, copia el zoom de Do a Re en la pizarra y deja que la clase se acerque a la computadora.
20 min
Aplicación: medir, escuchar y elegir

Medir (8 min). Toca tú 3 (Fa♯) y Shift+B (Sol♭); toda la clase lee los dos números en voz alta y los copia en su ficha. Después pasan las parejas por turnos: uno toca y el otro lee el número; la clase dice cuál de los dos fue más agudo y levanta el pulgar si coincide con la ficha.

Escuchar a Bartók (8 min). En el panel recs, pulsa ▶ en la grabación tonal de la danza (Pythagorean) y deja que suene medio minuto; la clase mira el teclado: se encienden las teclas enteras y las zonas de los sostenidos. Después la temperada (Tempered): se encienden solo las franjas cian. Pregunta: «¿Suenan igual? ¿Cuál les parece más brillante, cuál más quieta?». No hay respuesta equivocada: lo importante es escuchar.

El mismo instante de la danza en las dos versiones. Arriba, la temperada: el Fa♯ se enciende en la franja cian, a 739,99 Hz. Abajo, la tonal: el mismo Fa♯ en su zona de sostenido, a 742,50 Hz.

¿Qué instrumento me gustaría tocar? (4 min). Cada alumno dice qué instrumento le gustaría tocar, y la clase decide de qué escalera es: temperada, tonal o de armónicos.
5 min
El repaso de la meta
Vuelve a la frase de la pizarra. Las parejas que no pasaron dicen, a coro, cuál era más agudo: Do♯ o Re♭.
«¿Qué cuenta el hertz? ¿Cuántas teclas tienen Do♯ y Re♭ en el piano? ¿Y cuántas notas son en el violín?»
Escucha las respuestas: cuántas veces vibra el sonido por segundo; una tecla; dos notas, y el Do♯ más agudo.

Reto para los que van rápido: «El La vibra 440 veces por segundo. ¿Cuánto vibra el La de una octava más abajo? ¿Y el de dos octavas más abajo?». 220 y 110: cada octava, la mitad. Y uno más difícil: «En el afinador, el Do♯ dio 278,44 y el Re♭ 274,69. ¿Cuántas vibraciones por segundo los separan?». 278,44 − 274,69 = 3,75: casi cuatro vibraciones por segundo, y el oído las nota.

Si les cuesta:

No oyen la diferencia entre Do♯ y Re♭: es normal, es pequeña. Tócalas una tras otra varias veces, sin pausa; y que miren el número del afinador: los ojos ayudan al oído.
El afinador no muestra nada: revisa el permiso del micrófono, sube el volumen y deja la tecla apretada; el afinador necesita una nota larga.
Confunden más agudo con más fuerte: canta tú la misma nota suave y fuerte: el número no cambia. Cambia solo si la nota sube.
Se pierden con las tres escaleras: quédense con dos, el piano y el violín. La de los armónicos puede esperar a otra clase.

Las teclas y sus notas

Arriba · notas agudas

En medio

Abajo · notas graves

En esta clase, con el Keyboard en 4–7: la fila de abajo toca la octava del Do central. La fila de números toca los sostenidos (1 Do♯ · 2 Re♯ · 3 Fa♯ · 4 Sol♯ · 5 La♯) y Shift con una letra, los bemoles (Shift+X Re♭ · Shift+C Mi♭ · Shift+B Sol♭ · Shift+N La♭ · Shift+M Si♭).

Nombres de las notas: Do = C · Re = D · Mi = E · Fa = F · Sol = G · La = A · Si = B. Algunos materiales usan las letras: las dos formas nombran la misma nota.

Cómo saber que funcionó: al menos tres de cada cuatro parejas leen las dos frecuencias en el afinador y dicen que el Do♯ (o el Fa♯) es más agudo que el Re♭ (o el Sol♭); la clase dice que en el piano son una sola tecla. Además, la mayoría dice la receta T T S T T T S y nombra un instrumento de cada escalera.

Estas clases son un punto de partida. Los ejemplos pueden ser diseñados por cada profesor según la conveniencia de su curso. Por nuestra parte, iremos ampliando los temas de las clases según los pedidos que nos lleguen por el formulario de contacto.

Ficha del alumno · Las alteraciones y las dos escaleras

Para proyectar en la clase o imprimir. Basada en las diapositivas «Armadura de clave» y «Contexto de los intervalos» de Elementos de música.

Nombre	Qué hace	Ejemplo
sostenido	Sube la nota un semitono cromático (en el piano, un semitono).	Fa → Fa♯
bemol	Baja la nota un semitono cromático (en el piano, un semitono).	Si → Si♭
becuadro	Ni bemol ni sostenido: la nota vuelve a ser natural.	Si♭ → Si
doble sostenido	Sube la nota dos semitonos cromáticos.	Fa → Fa𝄪 (cerca de Sol)
doble bemol	Baja la nota dos semitonos cromáticos.	Si → Si𝄫 (cerca de La)

Semitono cromático: sobre la misma nota, Do-Do♯. Semitono diatónico: sobre dos notas distintas, Mi-Fa o Si-Do. Un tono = un semitono diatónico + un semitono cromático.

Mide con el afinador y completa:

Do♯ (1) = Hz

Re♭ (Shift+X) = Hz

Fa♯ (3) = Hz

Sol♭ (Shift+B) = Hz

¿Cuál es más aguda, Do♯ o Re♭?

En el piano, Do♯ y Re♭ son tecla(s).

En el violín y en la voz, son nota(s).

Receta: T T T T T

✂ recortar y llevar a casa

Las notas que vibran

Para los padres · 10 minutos por semana · no hace falta saber música

Hoy en clase aprendimos que un sonido es algo que vibra, que el hertz cuenta cuántas veces por segundo, y que el piano y el violín no construyen igual su escalera: en el piano Do♯ y Re♭ son una sola tecla, en el violín son dos notas. Esta semana, jueguen juntos:

¿Cuántas veces por segundo? Abran el afinador en el teléfono o la computadora (tuner.mariomaurano.com). Canten una nota larga, primero grave y después aguda, y miren cómo sube el número. ¿Quién de la casa canta la nota más grave?
Dos notas en una tecla: en el teclado (musicmotionsuite.com/apps/mmk-demo.html), con el afinador abierto, el niño les muestra el Do♯ (tecla 1) y el Re♭ (Shift + X). ¿Cuál marca más?
Bartók de dos maneras: en el mismo teclado, en recs, escuchen la danza de Bartók en Tonal Mode y en Tempered. ¿Cuál les gusta más?
¿Qué instrumento? Pregúntenle qué instrumento le gustaría tocar y de qué escalera es: la del piano, la del violín o la de la trompeta.